Tìm m để phương trình \(\cos 2x - \cos x - m = 0\) có nghiệm

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\cos 2x - \cos x - m = 0\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - \cos x - m - 1 = 0\)

Đặt \(t = \cos x,\;t \in \left[ { - 1;1} \right]\)

Khi đó phương trình trở thành: \(2{t^2} - t - m - 1 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{t^2} - t - 1 = m\\ \Leftrightarrow {\rm{2}}\left( {{t^2} - \dfrac{1}{2}t + \dfrac{1}{{16}}} \right) - \dfrac{9}{8} = m\\ \Leftrightarrow 2{\left( {t - \dfrac{1}{4}} \right)^2} = m + \dfrac{9}{8}\end{array}\)

Ta có:

\( - 1 \le t \le 1 \Rightarrow - \dfrac{5}{4} \le t - \frac{1}{4} \le \dfrac{3}{4}\Rightarrow 0 \le {\left( {t - \dfrac{1}{4}} \right)^2} \le \dfrac{{25}}{{16}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0 \le 2{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2} \le \dfrac{{25}}{8}\\ \Rightarrow 0 \le m + \dfrac{9}{8} \le \dfrac{{25}}{8}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{9}{8} \le m \le 2\end{array}\)