Phương trình \(sin x + cos x – 1 = 2sin xcos x\) có bao nhiêu nghiệm trên \(\left[ {0;\,2\pi } \right]\)?

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\sin x + \cos x - 1 = 2\sin x\cos x\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 1 + 2\sin x\cos x\\ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x\\ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} \end{array}\)

\(\Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x - \cos x} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x + \cos x = 0\\ 1 - \sin x - \cos x = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = - \cos x\\ \sin x + \cos x = 1 \end{array} \right. \end{array}\)

Các nghiệm trên \(\left[ {0;2\pi } \right]\) là \(\left\{ {\dfrac{{3\pi }}{4};0;2\pi ;\dfrac{\pi }{2}} \right\}\)