Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh rằng đường thẳng AC’

* Hướng dẫn giải

a) Ta có AB = AD = AA′ = a

và $C\prime B = C\prime D = C\prime A\prime = a\sqrt{2}$

Vì hai điểm A và C’ cách đều ba đỉnh của tam giác A’BD nên A và C’ thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BDA’ . Vậy AC′ ⊥ (BDA′). Mặt khác vì mặt phẳng (ACC’A’) chứa đường thẳng AC’ mà AC′ ⊥ (BDA′) nên ta suy ra mặt phẳng (ACC’A’) vuông góc với mặt phẳng (BDA’)

b) Ta có ACC’ là tam giác vuông có cạnh $AC = a\sqrt{2}$ và CC’ = a

Vậy $AC\prime 2^{} = A{C}^2 + CC\prime 2^{}$ 

$\Rightarrow AC\prime 2^{} = 2a^2 + a^2 = 3a^2. Vậy AC\prime = a\sqrt{3}.$