Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD khi và chỉ khi

* Hướng dẫn giải

Giả sử AB ⊥ CD ta phải chứng minh:

Thật vậy, kẻ BE ⊥ CD tại E, do AB⊥CD ta suy ra CD ⊥ (ABE) nên CD ⊥ AE. Áp dụng định lí Py-ta-go cho các tam giác vuông AEC, BEC, AED và BED ta có:

Nếu $A{C}^2 - A{D}^2 = B{C}^2 - B{D}^2 = k^2$ thì trong mặt phẳng (ACD) điểm A thuộc đường thẳng vuông góc với CD tại điểm H trên tia ID với I là trung điểm của CD sao cho 

Tương tự điểm B thuộc đường thẳng vuông góc với CD cũng tại điểm H nói trên. Từ đó suy ra CD vuông góc với mặt phẳng (ABH) hay CD ⊥ AB.

Nếu $A{C}^2 - A{D}^2 = B{C}^2 - B{D}^2 =- k^2$ thì ta có và đưa về trường hợp xét như trên $A{C}^2 - A{D}^2 = B{C}^2 - B{D}^2 = -k^2$.

Chú ý. Từ kết quả của bài toán trên ta suy ra:

Tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau khi và chỉ khi $A{B}^2 + C{D}^2 = A{C}^2 + B{C}^2$.