Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó bằng

* Hướng dẫn giải

Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BCD \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)\).

Gọi E là trung điểm AC \( \Rightarrow ME{\rm{ // }}AB \Rightarrow \left( {AB,DM} \right) = \left( {ME,MD} \right)\)

Ta có: \(\cos \left( {AB,DM} \right) = \cos \left( {ME,MD} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {ME} ,\overrightarrow {MD} } \right)} \right| = \left| {\cos \widehat {EMD}} \right|\).

Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của \(\Delta MED\): ME = a, \(ED = MD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét \(\Delta MED\), ta có: \(\cos \widehat {EMD} = \frac{{M{E^2} + M{D^2} - E{D^2}}}{{2ME.MD}} = \frac{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\).

Từ đó: \(\cos \left( {AB,DM} \right) = \left| {\frac{{\sqrt 3 }}{6}} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\).