Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G. Chọn khẳng định đúng?

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l} A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GD} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GD} } \right)^2}\\ = 3A{G^2} + 3B{G^2} + 3C{G^2} + 3D{G^2} + 2\left( {\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GD} + \overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + \overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + \overrightarrow {CG} .\overrightarrow {GD} } \right)\left( 1 \right) \end{array}\)

Lại có

\(\begin{array}{l} \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {G{\rm{D}}} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{{\rm{D}}^2}\\ = 2\left( {\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GD} + \overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + \overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + \overrightarrow {CG} .\overrightarrow {GD} } \right)\left( 2 \right) \end{array}\)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.