Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm CD, là góc giữa AC và BM. Chọn khẳng định đúng?

* Hướng dẫn giải

Gọi O là trọng tâm của \(\Delta BCD \Rightarrow AO \bot \left( {BCD} \right)\)

Trên đường thẳng d qua C và song song BM lấy điểm N sao cho BMCN là hình chữ nhật, từ đó suy ra:

\(\left( {\widehat {AC,BM}} \right) = \left( {\widehat {AC,CN}} \right) = \left( {\widehat {ACN}} \right) = \alpha \)

Có \(CN = BM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\) và \(BN = CN = \frac{a}{2}\)

\(A{O^2} = A{B^2} - B{O^2} = A{B^2} - {\left( {\frac{2}{3}BM} \right)^2} = \frac{2}{3}{a^2}\)

\(O{N^2} = B{N^2} + B{O^2} = \frac{7}{{12}}{a^2}\)

\(AN = \sqrt {A{O^2} + O{N^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}a\)

\( \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{A{C^2} + C{N^2} - A{N^2}}}{{2AC.CN}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\)