Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa AB và CD.

* Hướng dẫn giải

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Khi đó \(NA = NB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) nên tam giác ANB cân, suy ra \(NM \bot AB\). Chứng minh tương tự ta có \(NM \bot DC\), nên \(d\left( {AB;CD} \right) = MN\).

Ta có: \({S_{ABN}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - BN} \right)\left( {p - AN} \right)} \) (p là nửa chu vi).

\(= \sqrt {\frac{{a + a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a + a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2}} = \frac{{\sqrt 2 a}}{4}\)

Mặt khác: \({S_{ABN}} = \frac{1}{2}AB.MN = \frac{1}{2}a.MN \Rightarrow MN = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}\)