Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Khoảng cách giữa (ACB') và (DA'C') bằng

Câu hỏi :

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Khoảng cách giữa (ACB') và (DA'C') bằng

A. \(a\sqrt 3 \)

B. \(a\sqrt 2 \)

C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

D. \(\frac{a}{3}\)

* Đáp án

C

* Hướng dẫn giải

Vì \(\left( {ACB'} \right)//(DA'C')\) nên ta có:

\(d\left( {\left( {ACB'} \right),\left( {DA'C'} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {ACB'} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {ACB'} \right)} \right)\).

Vì BA = BB' = BC = a và \(AB' = AC = CB' = a\sqrt 2 \) nên

B.ACB' là hình chóp tam giác đều.

Gọi I là trung điểm AC, G là trọng tâm tam giác ACB'.

Khi đó ta có: \(d\left( {B;\left( {ACB'} \right)} \right) = BG\)

Vì tam giác ACB' đều nên \(B'I = a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Theo tính chất trọng tâm ta có: \(B'G = \frac{2}{3}B'I = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Trong tam giác vuông BGB' có:

\(BG = \sqrt {BB{'^2} - B'{G^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{6{a^2}}}{9}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\). 

Copyright © 2021 HOCTAP247