Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (CB'D') và (BDA') bằng

* Hướng dẫn giải

Vì \(\left( {A'BD} \right)//(B'CD')\) nên ta có:

\(d\left( {\left( {A'BD} \right),\left( {B'CD'} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {A'BD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {A'BD} \right)} \right)\).

Vì \(AB = AD = AA' = a\) và \(A'B = A'D = BD = a\sqrt 2 \) nên

AA'BD là hình chóp tam giác đều.

Gọi I là trung điểm A'B, Glà trọng tâm tam giác A'BD.

Khi đó ta có: \(d\left( {A;\left( {A'BD} \right)} \right) = AG\)

Vì tam giác A'BD đều nên \(DI = a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Theo tính chất trọng tâm ta có: \(DG = \frac{2}{3}DI = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Trong tam giác vuông AGD có:

\(AG = \sqrt {A{D^2} - D{G^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{6{a^2}}}{9}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)