Cho tứ diện ABCD có \(AB = a{,^{}}BD = 3a\).

* Hướng dẫn giải

Kẻ \(NP{\rm{//A}}C\,\,\left( {P \in AB} \right)\), nối MP.

NP là đường trung bình \(\Delta ABC \Rightarrow PN = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}\).

MP là đường trung bình \(\Delta ABD \Rightarrow PM = \frac{1}{2}BD = \frac{{3a}}{2}\).

Lại có \(\left( {AC,BD} \right) = \left( {PN,PM} \right) = \overrightarrow {NPM} = 90^\circ \) suy ra \( \Rightarrow \Delta MNP\) vuông tại P.

Vậy \(MN = \sqrt {P{N^2} + P{M^2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}\).