Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và nằm trong mặt phẳng (P).

* Hướng dẫn giải

Gọi \(\varphi = \left( {\left( {ABC} \right),\left( {ADE} \right)} \right)\).

Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Mặt khác, ta có: 

\(AD = \sqrt {A{B^2} + B{D^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\)

\(AE = \sqrt {A{C^2} + C{E^2}} = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a\)

Gọi F là trung điểm EC, ta có DF = BC = a.

Do đó \(DE = \sqrt {D{F^2} + F{E^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\).

Suy ra tam giác ADE cân tại D.

Gọi H là trung điểm AE, ta có \(DH = \sqrt {A{D^2} - A{H^2}} = \sqrt {\frac{{7{a^2}}}{4} - {a^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Suy ra \({S_{ADE}} = \frac{1}{2}DH.AE = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.2a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)

Vậy \(\cos \varphi = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{ADE}}}} = \frac{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = {60^o}\).