Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (CB'D') bằng

* Hướng dẫn giải

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ

\(A\left( {0;0;0} \right);\,B\left( {1;0;0} \right);\,D\left( {0;1;0} \right);\,A'\left( {0;0;1} \right)\)

\(C\left( {1;1;0} \right);\,B'\left( {1;0;1} \right);\,D'\left( {0;1;1} \right);\,C'\left( {1;1;1} \right)\)

\(\overrightarrow {CB'} = \left( {0; - 1;1} \right);\,\overrightarrow {CD'} = \left( { - 1;0;1} \right)\)

Viết phương trình mặt phẳng (CB'D')

Có VTPT \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {CB'} ;\overrightarrow {CD'} } \right] = \left( { - 1; - 1; - 1} \right)\)

\(\left( {CB'D'} \right):1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 2 = 0\)

\(d\left( {BD;\left( {CB'D'} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {CB'D'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 0 + 0 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

Vậy \(d\left( {BD;\left( {CB'D'} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).