Lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a. Gọi M là điểm trên cạnh AA' sao cho \(AM = \frac{{3a}}{4}\).

* Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó, \(A'O \bot \left( {ABC} \right)\).

Trong mặt phẳng (ABC), dựng \(AH \bot BC\). Vì tam giác ABC đều nên \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có \(\left. \begin{array}{l} BC \bot AH\\ BC \bot A'O \end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {A'HA} \right) \Rightarrow BC \bot MH\).

Do đó, \(\left( {\left( {MBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {MH,AH} \right) = \widehat {MHA} = \alpha \).

Tam giác MAH vuông tại A nên \(\tan \alpha = \frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{\frac{{3a}}{4}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).