Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SH bằng cạnh đáy. Tính số đo góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy.

* Hướng dẫn giải

+ Vì \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) và \(AN \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AN\) hay \(\Rightarrow SH \bot AH\) ⇒ AH là hình chiếu vuông góc của SA lên (ABC) ⇒ \(\left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SA,AH} \right) = \widehat {SAH}\)

+ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC.

Vì \(\Delta ABC\) là tam giác đều cạnh a nên dễ tính được : \(AN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Từ giả thiết suy ra H là trọng tậm \(\Delta ABC\).

\(\Rightarrow AH = \frac{2}{3}AN = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SHA vuông tại H ta có:

\(\tan \widehat {SAH} = \frac{{SH}}{{AH}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{3}}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SAH} = 60^\circ \).