Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA = SB. Góc giữa (SAB) và (SAD) bằng \(\alpha\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

* Hướng dẫn giải

Gọi độ dài cạnh của hình chóp đều S.ABCD là a. Gọi I là trung điểm của SB ta có \(DI \bot SB\) (vì tam giác SAB đều) và  (vì tam giác  đều). Vậy, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) chính là góc \(\widehat {AID}\).

Ta có : \(AD = a\sqrt 2 \) (đường chéo hình vuông), \(AI = DI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) (đường cao tam giác đều)

Áp dụng định lý cosin cho góc I trong tam giác AID ta có :

\(cos(\widehat {AID}) = \frac{{A{I^2} + D{I^2} - A{D^2}}}{{2AD.DI}} = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2.\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right).\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}} = - \frac{1}{3}\)

Vậy \(\cos \alpha = - \frac{1}{3}\)