Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI, góc giữa đường thẳ...

* Hướng dẫn giải

Ta có:

Trong \(\Delta ACI\) có trung tuyến AH suy ra

\(AH = \sqrt {\frac{{2\left( {A{I^2} + A{C^2}} \right) - C{I^2}}}{4}} = \sqrt {\frac{{7{a^2}}}{{16}}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{4}.\)

Trong \(\Delta SHA\) vuông tại H suy ra \(SH = AH\sqrt 3 = \frac{{a\sqrt {21} }}{4}\)

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên BC và SE. Khi đó \(d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) = HF\)

Ta có : \(HE = \frac{1}{2}d\left( {I,BC} \right) = \frac{1}{4}d\left( {A,BC} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{8}.\)

Trong \(\Delta SHE\) vuông tại H suy ra

\(HF = \frac{{HE.SH}}{{\sqrt {H{E^2} + S{H^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{8}.\frac{{a\sqrt {21} }}{4}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{8}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt {21} }}{4}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{4\sqrt {29} }}.\)