Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60o. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng...

* Hướng dẫn giải

Ta có:

Trong \(\Delta SGC\) vuông tại G suy ra \(SG = GC\sqrt 3 = \frac{2}{3}\frac{{3a}}{2} = a.\)

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G trên MN và SE.

Khi đó \(d\left( {C,\left( {SMN} \right)} \right) = 3d\left( {G,\left( {SMN} \right)} \right) = 3GF\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} GE = \frac{1}{2}d\left( {G,AC} \right) = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}.d\left( {M,AC} \right)\\ = \frac{1}{3}d\left( {M,AC} \right) = \frac{1}{6}d\left( {B,AC} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{{12}}. \end{array}\)

Trong \(\Delta SGE\) vuông tại H suy ra

\(GF = \frac{{GE.SG}}{{\sqrt {G{E^2} + S{G^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{{12}}.a}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{{12}}} \right)}^2} + {a^2}} }} = \frac{a}{7}\)