Trong không gian cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Ta có tan của góc tạo bởi hai mặt phẳn...

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\)

Gọi \(d = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\) với \(d \in S;d\parallel AB\parallel CD\)

Do đó: \(d = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\)

Mặt khác: \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) mà \(HK \bot AB\left( {hv} \right) \Rightarrow HK \bot \left( {SAB} \right)\)

Vì H là trung điểm của AB \( \Rightarrow SH \bot AB \Rightarrow SH \bot d\) (vì \(d\parallel AB\))

\(\Rightarrow d \bot SK\) (theo định lí ba đường vuông góc)

Do đó: \(\widehat {KSH} = \alpha \) là góc giữa (SAB) và (SCD)

Mà SH là đường cao trong \(\Delta SAB\) đều cạnh \(a \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Xét \(\Delta SHK\) vuông tại H có: \(\tan \alpha = \frac{{HK}}{{SH}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).