Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, DC. Gọi H là giao điểm của CN và DM, biết SH vuông góc (ABCD), \(SH =...

* Hướng dẫn giải

Ta chứng minh \(NC \bot MD\)

Thật vậy : \(\Delta ADM = \Delta DCM\) vì \(\widehat A = \widehat D = {90^0};AD = DC;AM = DN\)

\( \Rightarrow \widehat {ADM} = \widehat {DCN};\) mà \(\widehat {ADM} + \widehat {MDC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {MDC} + \widehat {DCN} = {90^0} \Rightarrow NC \bot MD\)

Ta có : \(BP \bot NC\left( {MD//BP} \right);BP \bot SH \Rightarrow BP \bot \left( {SNC} \right) \Rightarrow \left( {SBP} \right) \bot \left( {SNC} \right)\)

Kẻ \(HE \bot SF \Rightarrow HE \bot \left( {SBP} \right) \Rightarrow d\left( {H,(SBP)} \right) = d(C,(SBP)) = HE\)

Do \(D{C^2} = HC.NC \Rightarrow HC = \frac{{D{C^2}}}{{NC}} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow HF = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\)

Mà \(HE = \frac{{SH.HF}}{{SF}} = \frac{{SH.HF}}{{\sqrt {S{H^2} + H{F^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)