Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I với \(AB = 2a\sqrt 3 ;BC = 2a\). Biết chân đường cao H hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD trùng với trung điểm đoạn DI và SB hợp vớ...

* Hướng dẫn giải

Đặc điểm của hình: Góc giữa SB tạo với mặt phẳng (ABCD) là \(\widehat {SBM} = {60^ \circ }.\)

\(BM = \frac{3}{4}BD = 3a,SM = BM.\tan {60^0} = 3\sqrt 3 a\)

Xác định khoảng cách: \(d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{4}{3}d\left( {M,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{4}{3}MH\)

Tính khoảng cách MH:

\(\frac{1}{{M{H^2}}} = \frac{1}{{M{K^2}}} + \frac{1}{{M{S^2}}} \\= \frac{1}{{{{\left( {\frac{3}{4}.2\sqrt 3 a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {3\sqrt 3 a} \right)}^2}}} = \frac{5}{{27{a^2}}} \\MH = \sqrt {\frac{{27}}{5}} a\)

Vậy \(d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{4}{3}d\left( {M,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{4}{3}MH = \frac{{4\sqrt {15} }}{5}a\)