Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa một mặt bên và mặt đáy bằng 60o. Tính độ dài đường cao SH.

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\).

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AC.

Dễ chứng minh được \(SM \bot BC\) và \(AM \bot BC\).

\( \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SM,AM} \right) = \widehat {SMA} = \widehat {SMH} = 60^\circ \)

Ta dễ tính được: \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vì H là chân đường cao của hình chóp đều S.ABC nên H trùng với trọng tâm của tam giác ABC.

\(\Rightarrow MH = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SHM vuông tại H ta có :

\(\tan \widehat {SMH} = \frac{{SH}}{{MH}} \Rightarrow SH = MH.\tan \widehat {SMH} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\tan 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\sqrt 3 = \frac{{3a}}{6} = \frac{a}{2}\)