Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a

* Hướng dẫn giải

Đặc điểm hình: Góc giữa SD tạo với mặt phẳng (ABCD) là \(\widehat {SDE} = {60^ \circ }.\)

\(DE = \sqrt {O{D^2} + O{E^2}} = \frac{{2\sqrt 5 a}}{6}\)

\(SE = DE.\tan {60^0} = \frac{{2\sqrt {15} }}{6}a\)

Xác định khoảng cách

\(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{3}{2}d\left( {E,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{3}{2}EH\)

Tính :

\(\frac{1}{{E{H^2}}} = \frac{1}{{E{K^2}}} + \frac{1}{{E{S^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{2a}}{3}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{2\sqrt {15} a}}{6}} \right)}^2}}} = \frac{{57}}{{20{a^2}}}\)

\(EH = \frac{{2\sqrt 5 a}}{{\sqrt {57} }}\)

Vậy \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{3}{2}d\left( {E,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{3}{2}EH = \frac{{a\sqrt {285} }}{{19}}\).