Cho tam giác ABC cân tại A. Biết rằng độ dài cạnh BC, trung tuyến AM và độ dài cạnh AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân có công bội q. Tìm công bội q của cấp số nhân đó.

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(A{M^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - B{C^2}}}{4}\) (1)

Do ba cạnh BC, AM, AB lập thành cấp số nhân nên ta có: \(BC.AB = A{M^2}\) (2)

Thay (2) vào (1) ta được \(\frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - B{C^2}}}{4} = BC.AB\)

\( \Leftrightarrow 4A{B^2} - 4AB.BC - B{C^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow 4{\left( {\frac{{AB}}{{BC}}} \right)^2} - 4\frac{{AB}}{{BC}} - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\\ \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{2}\,\,\,\left( {loai} \right) \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow q = \sqrt {\frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}} = \frac{{\sqrt {2 + 2\sqrt 2 } }}{2}\)