Cho dãy số (un) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 1\\ {u_{n + 1}} = {u_n} + {n^3},\,\,\,\forall n \in {N^*} \end{array} \right.\). Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao...

* Hướng dẫn giải

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 1\\ {u_2} = {u_1} + {1^3}\\ {u_3} = {u_2} + {2^3}\\ .................\\ {u_{n + 1}} = {u_n} + {n^3} \end{array} \right. \Rightarrow {u_n} = 1 + {1^3} + {2^3} + ... + {\left( {n - 1} \right)^3}\)

Ta lại có \({1^3} + {2^3} + ... + {\left( {n - 1} \right)^3} = {\left( {1 + 2 + 3 + ... + n - 1} \right)^2} = {\left( {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}} \right)^2}\)

Suy ra \({u_n} = 1 + {\left( {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}} \right)^2}\)

Theo giả thiết ta có

\(\sqrt {{u_n} - 1} \ge 2039190 \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} \ge 2039190\)

\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) \ge 4078380 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n \ge 2020\\ n \le - 2019 \end{array} \right.\)

Mà n là số nguyên dương nhỏ nhất nên n = 2020.