Cho 4 số lập thành cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 22. Tổng các bình phương của chúng bằng 166. Tổng các lập phương của chúng

* Hướng dẫn giải

Gọi 4 số lập thành cấp số cộng là u₁, u₂, u₃, u₄ và công sai là d

Ta có: u₂ = u₁ + d; u₃ = u₁ + 2d; u₄ = u₁ + 3d

Theo giả thiết ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 22\\
u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 166
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_1} + d + {u_1} + 2d + {u_1} + 3d = 22\\
u_1^2 + {({u_1} + d)^2} + {({u_1} + 2d)^2} + {({u_1} + 3d)^2} = 166
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{u_1} + 6d = 22\\
4u_1^2 + 12{u_1}d + 14{d^2} = 166
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{u_1} + 3d = 11\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
2u_1^2 + 6{u_1}d + 7{d^2} = 83\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Từ (1) suy ra: \({{u_1} = \frac{{11 - 3d}}{2}}\) thế vào (2) ta được

\(\begin{array}{l}
2.{\left( {\frac{{11 - 3d}}{2}} \right)^2} + 6.\frac{{11 - 3d}}{2}.d + 7{d^2} = 83\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
d = 3 \Rightarrow {u_1} = 1\\
d =  - 3 \Rightarrow {u_1} = 10
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy 4 số đó là 1,4,7,10 hoặc 10,7,4,1

Tổng các lập phương của chúng: 1³+4³+7³+10³ = 1408