Cho dãy số (un) có \({u_1} = \frac{1}{5}\) và \({u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{5n}}{u_n}\), \(\forall n \ge 1\). Tìm tất cả giá trị n để \(S = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{u_k}}}{...

* Hướng dẫn giải

Ta có \({u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{5n}}{u_n} \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{{{u_n}}}{n}\).

Đặt \({v_n} = \frac{{{u_n}}}{n},\forall n \ge 1\). Suy ra (vn) là cấp số nhân có công bội \(q = \frac{1}{5}\) và \({v_1} = \frac{1}{5}\).

Ta có \(S = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{u_k}}}{k} = \sum\limits_{k = 1}^n {{v_k}} = {v_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{5}}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{{5^n} - 1}}{{{5^n}}}} = {T_n}\).

Do vn > 0, \(\forall n \ge 1\) nên (Tn) là dãy tăng.

Suy ra \({T_n} < \frac{{{5^{2018}} - 1}}{{{{4.5}^{2018}}}} = {T_{2018}} \Leftrightarrow n < 2018\).