Tìm x, y biết các số \(x+5 y, 5 x+2 y, 8 x+y\) lập thành cấp số cộng và các số \((y-1)^{2}, x y-1,(x+1)^{2}\) lập thành cấp số nhân.

* Hướng dẫn giải

Ba số a, b, c lập thành cấp số cộng \(\Leftrightarrow a+c=2b\)

Ba số a, b, c lập thành cấp số nhân \(\Leftrightarrow ac=b^2\)

Từ đề bài ta có:

\(\left\{\begin{array}{l} x+5 y+8 x+y=2(5 x+2 y) \\ (x+1)^{2}(y-1)^{2}=(x y-1)^{2} \end{array}\right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = - \sqrt 3 \\ y = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt 3 \\ y = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \end{array} \right. \end{array} \right.\)

Vậy \((x ; y)=\left(-\sqrt{3} ;-\frac{\sqrt{3}}{2}\right):\left(\sqrt{3} ; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)