Cho tứ diện ABCD có \(AB = CD = a,IJ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) (I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng bao nhiêu?

* Hướng dẫn giải

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, BC.

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} MI = NI = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2}\\ MI{\rm{ // }}AB{\rm{ // }}CD{\rm{ // }}NI \end{array} \right.\)

⇒ MINJ là hình thoi.

Gọi O là giao điểm của MN và IJ.

Ta có: \(\widehat {MIN} = 2\widehat {MIO}\).

Xét tam giác MIO vuông tại O, ta có:

\(\cos \widehat {MIO} = \frac{{IO}}{{MI}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\frac{a}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \\ \Rightarrow \widehat {MIO} = 30^\circ \Rightarrow \widehat {MIN} = 60^\circ \)

Mà: \(\left( {AB,CD} \right) = \left( {IM,IN} \right) = \widehat {MIN} = 60^\circ \).