Giá trị của giới hạn \(\lim \left(\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\ldots+\frac{n-1}{n^{2}}\right)\)

* Hướng dẫn giải

Ta có 

\(\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\ldots+\frac{n-1}{n^{2}}=\frac{1}{n^{2}}(1+2+\cdots+n-1)=\frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{(n-1)(1+n-1)}{2}=\frac{n^{2}-n}{2 n^{2}}\), do đó

\(\lim \left(\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\ldots+\frac{n-1}{n^{2}}\right)=\lim \frac{n^{2}-n}{2 n^{2}}=\frac{1}{2}\)