Cho tứ diện ABCD có \(A B=a, B D=3 a\) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Biết AC vuông góc với BD . Tính MN

* Hướng dẫn giải

Kẻ \(\mathrm{NP} // \mathrm{AC}(P \in A B)\), nối MP .

NP là đường trung bình \(\Delta A B C \Rightarrow P N=\frac{1}{2} A C=\frac{a}{2}\).

MP là đường trung bình \(\Delta A B D \Rightarrow P M=\frac{1}{2} B D=\frac{3 a}{2}\)

Lại có \((A C, B D)=(P N, P M)=\widehat{N P M}=90^{\circ}\)\(\Rightarrow \Delta M N P\) vuông tại P .

Vậy \(M N=\sqrt{P N^{2}+P M^{2}}=\frac{a \sqrt{10}}{2}\)