Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó \(\cos (A B, D M)\) bằng

* Hướng dẫn giải

Giả sử cạnh của tứ diện là a. Ta có

\(\cos (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{D M})=\frac{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{D M}}{|\overrightarrow{A B}| \cdot|\overline{D M}|}=\frac{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{D M}}{a \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2}}\)

Mặt khác \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{D M}=\overrightarrow{A B}(\overrightarrow{A M}-\overrightarrow{A D})=\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A M}-\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}=A B \cdot A M \cdot \cos 30^{0}-A B \cdot A D \cdot \cos 60^{\circ}\)

\(=a \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-a \cdot a \cdot \frac{1}{2}=\frac{3 a^{2}}{4}-\frac{a^{2}}{2}=\frac{a^{2}}{4}\)

Vậy \(\cos (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{D M})=\frac{\sqrt{3}}{6} . \text { Suy ra } \cos (A B, D M)=\frac{\sqrt{3}}{6}\)