Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC,C'D'\) và \(D'A'\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(PQ\) bằng

* Hướng dẫn giải

Dễ thấy \(MN//AC//A'C'//PQ\).

Gọi \(E,F\) lần lượt là trung điểm \(A'B',AD\).

Khi đó \(MN \bot ME\) (vì \(ME \bot \left( {ABCD} \right)\)).

Mà \(MN \bot MF\) (tính chất trung điểm các cạnh hình vuông).

Do đó \(MN \bot \left( {MEQF} \right) \Rightarrow MN \bot MQ\) nên \(d\left( {MN,PQ} \right) = d\left( {Q,MN} \right) = QM\).

Tam giác \(MEQ\) vuông tại \(E\) có \(ME = a,EQ = \frac{1}{2}B'D' = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) nên \(QM = \sqrt {M{E^2} + E{Q^2}} \)\( = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Vậy \(d\left( {MN,PQ} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).