Tìm số các số nguyên m thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3\sqrt {m{x^2} + 2x + 1} - mx} \right)\)\( = + \infty .\)

* Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {3\sqrt {m{x^2} + 2x + 1}  - mx} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x\left( {3\sqrt {m + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}  - m} \right)\end{array}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x =  + \infty \), do đó để  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {3\sqrt {m{x^2} + 2x + 1}  - mx} \right) =  + \infty \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {3\sqrt {m + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}  - m} \right) > 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\sqrt m  - m > 0\\m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 0\\3\sqrt m  > m\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 0\\9m > {m^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 0\\0 < m < 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 0 < m < 9\end{array}\)

Mà \(m \in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\)

Với \(m = 0\) ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {3\sqrt {2x + 1} } \right) =  + \infty \,\,\left( {tm} \right)\), với \(m = 9\) ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {3\sqrt {9{x^2} + 2x + 1}  - 9x} \right) = 1\) (KTM)

Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.