Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = a,\) \(EF = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), (\(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và\(AD\)). Số đo góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) l...

* Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của AC.

Ta có:

+ ME là đường trung bình của tam giác ABC nên ME // AB và \(ME = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\).

+ MF là đường trung bình của tam giác ACD nên MF // CD và \(MF = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2}\).

Do đó \(\angle \left( {AB;CD} \right) = \angle \left( {ME;MF} \right)\).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác MEF ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \angle EMF\\ = \frac{{M{E^2} + M{F^2} - E{F^2}}}{{2ME.MF}}\\ = \frac{{\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{3{a^2}}}{4}}}{{2.\frac{a}{2}.\frac{a}{2}}} =  - \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \angle EMF = {120^0}\end{array}\)

Vậy \(\angle \left( {AB;CD} \right) = \angle \left( {ME;MF} \right)\)\( = {180^0} - {120^0} = {60^0}\)