Biết giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x + 1} \right) = a\). Tính giá trị của \(2a + 1\).

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + x + 1} \right) = a\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} + 1 - {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 2}}{{ - \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}}  - 1 - \frac{1}{x}}}\\ = \frac{{ - 2}}{{ - 2}} = 1 = a\\ \Rightarrow 2a + 1 = 2.1 + 1 = 3\end{array}\)