Tính giới hạn \(\lim \frac{{{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}}}{{{n^3} + 3n}}\).

* Hướng dẫn giải

Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}\)\( = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6},\)\(\forall n \ge 1,n \in \mathbb{Z}\).

Đẳng thức trên đúng với \(n = 1\) vì \(1 = \frac{{1.2.3}}{6}\).

Giả sử đẳng thức trên đúng đến \(n = k\)

\( \Rightarrow {1^2} + {2^2} + ... + {k^2}\) \( = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{6}\)

Ta cần chứng minh nó đúng đến \(n = k + 1\), tức là cần chứng minh

\({1^2} + {2^2} + ... + {\left( {k + 1} \right)^2}\)\( = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{6}\) .

Ta có:

\(\begin{array}{l}VT\\ = {1^2} + {2^2} + ... + {\left( {k + 1} \right)^2}\\ = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{6} + {\left( {k + 1} \right)^2}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)}}{6}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right)}}{6}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{6}\\ = VP\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đẳng thức được chứng minh. Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\lim \frac{{{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}}}{{{n^3} + 3n}}\\ = \lim \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{6\left( {{n^3} + 3n} \right)}}\\ = \lim \frac{{1.\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)}}{{6\left( {1 + \frac{3}{{{n^2}}}} \right)}}\\ = \frac{{1.1.2}}{{6.1}} = \frac{1}{3}\end{array}\)