Chứng minh bằng phương pháp quy nạp n^3 +11n chia hết cho 6.

* Hướng dẫn giải

* Với n =1  ta có $1^3+11.1=12$ chia hết cho 6 đúng.

* Giả sử với n = k thì $k^3 +11k$ chia hết cho 6.

* Ta phải chứng minh với n =k+1  thì ${(k+1)}^3$ + 11(k +1) chia hết cho 6.

Thật vậy ta có :

$$\begin{gathered} {\left(k+1\right)}^3+11\left(k+1\right)=k^3+3k^2+3k+1+11k+11 \\ =(k^3+11k)+3k(k+1)+12\left(*\right) \end{gathered}$$

Ta có; $k^3$ +11k chia hết cho 6 theo bước 2.

k(k+1) là tích 2 số tự  nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 $\Rightarrow 3k(k+1)⋮6$

Và 12 hiển nhiên chia hết cho 6.

Từ đó suy ra (*) chia hết cho 6 (đpcm).