Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết: un = (2n-13)/(3n-2)

* Hướng dẫn giải

Ta có: $u_{n+\hspace{0.17em}1}=\frac{2(n+1)-13}{3(n+1)-2}=\frac{2n-11}{3n+1}$

Xét hiệu: 

$$\begin{gathered} u_{n+1}-u_n=\frac{2n-11}{3n+1}-\frac{2n-13}{3n-2} \\ =\frac{(2n-11).(3n-2)-(2n-13).(3n+1)}{(3n+1)(3n-2)} \\ =\frac{6n^2-4n-33n+\text{}22-(6n^2+\text{}2n-\text{}39n-13)}{(3n+1).(3n-2)} \\ =\frac{35}{(3n+1)(3n-2)}>0 \end{gathered}$$

với mọi $n\ge 1$.

Suy ra $u_{n+1}>u_n\forall n\ge 1\Rightarrow$ dãy $(u_n )$ là dãy tăng.

Mặt khác: $u_n=\frac{2}{3}-\frac{35}{3(3n-2)}\Rightarrow u_n<\frac{2}{3}\forall n\ge 1$

Suy ra $\left(u_n\right)$ bị chặn trên

$\begin{array}{l}\forall n\ge 1:\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}3n-2\ge 1\Rightarrow \frac{35}{3(3n-2)}\le \frac{35}{3.1}=\frac{35}{3}\\ \Rightarrow u_n\ge \frac{2}{3}-\frac{35}{3}=-11\end{array}$

Nên $\left(u_n\right)$ bị chặn dưới.

Vậy dãy $\left(u_n\right)$ là dãy bị chặn.

Chọn đáp án A.