Giải phương trình sinxcosx+2(sinx+cosx)=2

* Hướng dẫn giải

Đặt $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$

Vì $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\in \left[-1;1\right]\Rightarrow t\in \left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$

Ta có $t^2={\left(\sin x+\cos x\right)}^2={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$.

Khi đó, phương trình đã cho trở thành:

$\frac{t^2-1}{2}+2t=2\iff t^2+4t-5=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-5\left(l\right)\end{array}\right..$

Với t = 1, ta được $\sin x+\cos x=1\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \frac{\pi }{4}$.

$\iff \left[\begin{array}{l}x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=k2\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

Chọn đáp án B.