Cho dãy số (un) với un = (1+3+4+...+n)/(1+3+3^2 +3^3 +... +3^n).(n+1

* Hướng dẫn giải

* Xét tử số: Ta thấy 1, 2, 3, 4, ...,  n là một dãy số thuộc cấp số cộng có n số hạng với

$u_1 = 1$; d= 1 .

Tổng n số hạng của cấp số cộng: $S_n=\frac{\left(u_1+u_n\right)n}{2}=\frac{\left(1+n\right)n}{2}.$

* Xét mẫu số: Ta thấy $1,3,3^2,3^3,\mathrm{...},3^n$ là một dãy số thuộc cấp số nhân có n + 1 số hạng với $u_1 = 1$ ; q = 3

Tổng (n+ 1) số hạng của cấp số nhân: $S_{n+1}=u_1.\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{1-3^{n+1}}{1-3}=\frac{3^{n+1}-1}{2}.$

$\Rightarrow u_n=\frac{n}{3^{n+1}-1}=\frac{n}{{3.3}^n-1}$

Bằng quy nạp ta luôn có $n<2^n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ và $3^n>1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

$\Rightarrow \left|u_n\right|=\left|\frac{n}{{3.3}^n-1}\right|<\frac{n}{3^n}<\frac{2^n}{3^n}={\left(\frac{2}{3}\right)}^n$

Vì $\lim {\left(\frac{2}{3}\right)}^n=0$ nên $\lim u_n=0.$

Chọn đáp án A