Cho mạch điện như hình vẽ. Biết L = 1/pi(H), C = 2.10^-4/pi (F), uAB = 200cos100pi.t

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Phương pháp giải:

Công suất tỏa nhiệt trên R: $P_R=I^{2}R=\frac{U^2.R}{Z^2}=\frac{U^{2}R}{R^2+{\left(Z_L-Z_C\right)}^2}$

Khảo sát $P_R$ theo R.

Áp dụng BĐT Cosi.

Giải chi tiết:

Dung kháng và cảm kháng: $\left\{\begin{array}{l}{Z}_L=\omega L=100\pi .\frac{1}{\pi }=100\Omega \\ Z_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{100\pi .\frac{{2.10}^{-4}}{\pi }}=50\Omega \end{array}\right.$

Điện áp hiệu dụng: $U=\frac{U_0}{\sqrt{2}}=\frac{200}{\sqrt{2}}=100\sqrt{2}V$

Công  suất tỏa nhiệt trên R: $P_R=I^{2}R=\frac{U^{2}R}{R^2+{\left(Z_L-Z_C\right)}^2}=\frac{U^2}{R+\frac{{\left(Z_L-Z_C\right)}^2}{R}}$

Để $P_{R\max }\iff {\left[R+\frac{{\left(Z_L-Z_C\right)}^2}{R}\right]}_{\min }$

Áp dụng BĐT Cosi ta có:

$$\begin{gathered} R+\frac{{\left(Z_L-Z_C\right)}^2}{R}\ge 2.\sqrt{R.\frac{{\left(Z_L-Z_C\right)}^2}{R}}=2.\left|Z_L-Z_C\right| \\ \Rightarrow {\left(R+\frac{{\left(Z_L-Z_C\right)}^2}{R}\right)}_{\min }=2.\left|Z_L-Z_C\right| \\ \Rightarrow P_{\max }=\frac{U^2}{2.\left|Z_L-Z_C\right|}=\frac{{\left(100\sqrt{2}\right)}^2}{2.\left|100-50\right|}=200W \end{gathered}$$

Dấu “=” xảy ra khi:

$$\begin{gathered} R=\frac{{\left(Z_L-Z_C\right)}^2}{R} \\ \Rightarrow R=\left|Z_L-Z_C\right|=\left|100-50\right|=50\Omega \end{gathered}$$