Đặt một điện áp u=U0cos.omega.t(V), trong đó không đổi nhưng omega

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Phương pháp giải:

Hệ số công suất: $\cos \phi =\frac{R}{Z}=\frac{R}{\sqrt{R^2+{\left(Z_L-Z_C\right)}^2}}$

Công suất tiêu thụ: $P=\frac{U^{2}R}{Z^2}=\frac{U^{2}R}{R^2+{\left(Z_L-Z_C\right)}^2}$

Với hai giá trị của tần số góc cho cùng hệ số công suất thì: ${\omega }_1{\omega }_2={\omega }_0^2$

Giải chi tiết:

Công suất tiêu thụ của mạch: $P=\frac{U^{2}R}{Z^2}=\frac{U^{2}R}{R^2+{\left(Z_L-Z_C\right)}^2}$

$$\begin{gathered} P_{\max }\iff {\left[R^2+{\left(Z_L-Z_C\right)}^2\right]}_{\min } \\ \iff Z_L=Z_C\iff {\omega }_{0}L=\frac{1}{{\omega }_{0}C}\Rightarrow {\omega }_0^2=\frac{1}{LC} \end{gathered}$$

Với hai giá trị của tần số góc cho cùng hệ số công suất, ta có: ${\omega }_1{\omega }_2={\omega }_0^2$

Mặt khác: $\cos {\phi }_1=\frac{R}{\sqrt{R^2+{\left({\omega }_{1}L-\frac{1}{{\omega }_{1}C}\right)}^2}}$

$$\begin{gathered} \cos {\phi }_1=\frac{R}{\sqrt{R^2+\left({\omega }_1^2{L}^2-2.\frac{L}{C}+\frac{1}{{\omega }_1^2{C}^2}\right)}} \\ =\frac{R}{\sqrt{R^2+\left({\omega }_1^2{L}^2-2L^2.\frac{1}{LC}+\frac{L^2}{{\omega }_1^2}.\frac{1}{L^2{C}^2}\right)}} \\ \cos {\phi }_1=\frac{R}{\sqrt{R^2+\left({\omega }_1^2{L}^2-2L^2.{\omega }_0^2+\frac{L^2}{{\omega }_1^2}.{\omega }_0^4\right)}} \\ =\frac{R}{\sqrt{R^2+L^2.\left({\omega }_1^2-2.{\omega }_0^2+\frac{{\omega }_0^4}{{\omega }_1^2}\right)}} \\ =\frac{R}{\sqrt{R^2+L^2.{\left({\omega }_1-\frac{{\omega }_0^2}{{\omega }_1}\right)}^2}}=\frac{R}{\sqrt{R^2+L^2.{\left({\omega }_1-{\omega }_2\right)}^2}} \end{gathered}$$

Theo bài ra ta có: $\left\{\begin{array}{l}\cos {\phi }_1=0,5\\ {\omega }_1-{\omega }_2=200\pi \left(rad/s\right)\\ L=\frac{\sqrt{3}}{4\pi }H\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \cos {\phi }_1=\frac{R}{\sqrt{R^2+L^2.{\left({\omega }_1-{\omega }_2\right)}^2}}=0,5 \\ \iff \frac{R^2}{R^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{4\pi }\right)}^2.{\left(200\pi \right)}^2}=\frac{1}{4} \\ \iff \frac{R^2}{R^2+7500}=\frac{1}{4}\Rightarrow R=50\Omega \end{gathered}$$