Hai chất điểm cùng khối lượng, dao động dọc theo hai đường thẳng song

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Phương pháp giải:

+ Khoảng cách giữa hai chất điểm: $\Delta d=\left|x_1-x_2\right|=\left|x_1+\left(-x_2\right)\right|$

+ Sử dụng công thức tổng hợp dao động điều hòa cùng tần số.

+ Sử dụng kĩ năng khai thác thông tin từ đồ thị.

+ Công thức tính cơ năng: $W=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2$

Giải chi tiết:

+ Ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{x}_1=A_1.\cos \left(\omega t+{\phi }_1\right)\\ x_2=A_2.\cos \left(\omega t+{\phi }_2\right)\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1=A_1.\cos \left(\omega t+{\phi }_1\right)\\ -x_2=A_2.\cos \left(\omega t+{\phi }_2+\pi \right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

+ Khoảng cách giữa hai chất điểm theo phương Ox: $\Delta d=\left|x_1-x_2\right|=\left|x_1+\left(-x_2\right)\right|=d.\cos \left(\omega t+\phi \right)$

Với: $\left\{\begin{array}{l}\Delta \phi ={\phi }_1-\left({\phi }_2+\pi \right)\\ d=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2.\cos \Delta \phi }\end{array}\right.$

+ Khi $A_1=0\Rightarrow d=12cm$

$\iff \sqrt{0^2+A_2^2+\mathrm{2.0.}{A}_2.\cos \Delta \phi }=12cm\Rightarrow A_2=12cm$

+ Lại có: $d^2=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2.\cos \Delta \phi$

$$\begin{gathered} \Rightarrow d^2={\left(A_1+A_2.\cos \Delta \phi \right)}^2+A_2^2\left(1-{\cos }^2\Delta \phi \right) \\ \Rightarrow d_{\min }\iff A_1+A_2.\cos \Delta \phi =0\Rightarrow \cos \Delta \phi =-\frac{A_1}{A_2} \end{gathered}$$

Mà $d_{\min }\iff A_1=9cm\Rightarrow \cos \Delta \phi =-\frac{9}{12}=-\frac{3}{4}$

+ Khi d = 10cm ta có:

$$\begin{gathered} d^2=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2.\cos \Delta \phi \\ \iff {10}^2=A_1^2+{12}^2+2A_1\mathrm{.12.}\left(-\frac{3}{4}\right) \\ \iff \left[\begin{array}{l}{A}_1=2,92cm=a_1\\ A_1=15,08cm=a_2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Tỉ số cơ năng:

$$\begin{gathered} \frac{W_1}{W_2}=\frac{\frac{1}{2}m{\omega }^2{a}_1^2+\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}_2^2}{\frac{1}{2}m{\omega }^2{a}_2^2+\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}_2^2} \\ =\frac{a_1^2+A_2^2}{a_2^2+A_2^2}=\frac{15,{08}^2+{12}^2}{2,{92}^2+{12}^2}=0,4 \end{gathered}$$