Trong thí nghiệm giao thoa sóng với hai nguồn kết hợp A, B trên mặt nước

* Hướng dẫn giải

Phương pháp: 

Điều kiện cực đại giao thoa: $d_2-d_1=k\lambda$

Điều kiện cực tiểu giao thoa: $d_2-d_1=\left(k+\frac{1}{2}\right)\lambda$

Công thức lượng giác: $\tan (a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$

Bất đẳng thức Cô – si: $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ (dấu “=” xảy ra $\iff a=b$ )

Cách giải: 

Ta có hình vẽ:

Để $CB{D}_{\max }\Rightarrow {\alpha }_{\max }\Rightarrow {\left(\tan \alpha \right)}_{\max }$

Xét $\tan \alpha =\tan (ABD-ABC)=\frac{\tan ABD-\tan ABC}{1+\tan ABD\tan ABC}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \tan \alpha =\frac{\frac{AD}{AB}-\frac{AC}{AB}}{1+\frac{AD}{AB}\cdot \frac{AC}{AB}} \\ =\frac{AD-AC}{AB+\frac{AD.AC}{AB}}=\frac{7}{AB+\frac{144}{AB}} \end{gathered}$$

Để ${\left(\tan \alpha \right)}_{\max }\Rightarrow {\left(AB+\frac{144}{AB}\right)}_{\min }$

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có: 

$$\begin{gathered} AB+\frac{144}{AB}\ge 2\sqrt{AB\cdot \frac{144}{AB}} \\ \Rightarrow {\left(AB+\frac{144}{AB}\right)}_{\min }\iff AB=12\left(cm\right) \end{gathered}$$

AB AB AB Tại C, D là hai cực đại liên tiếp

→ D là cực đại bậc k, C là cực đại bậc (k+1), ta có: 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}DB-DA=\sqrt{D{A}^2+A{B}^2}-DA=k\lambda \Rightarrow k\lambda =4\\ CB-CA=\sqrt{C{A}^2+A{B}^2}-CA=(k+1)\lambda \Rightarrow (k+1)\lambda =6\end{array}\right. \\ \Rightarrow \lambda =2\left(cm\right) \end{gathered}$$

Xét điểm E là cực tiểu xa A nhất → E là cực tiểu bậc 1 (k = 0)

Ta có: 

$$\begin{gathered} EB-EA=\frac{1}{2}\lambda \Rightarrow \sqrt{E{A}^2+A{B}^2}-EA=\frac{1}{2}\lambda \\ \Rightarrow \sqrt{E{A}^2+{12}^2}-EA=1\Rightarrow EA=71,5\left(cm\right) \end{gathered}$$

Chọn D