Hai con lắc lò xo cấu tạo giống nhau, có cùng chiều dài tự nhiên bằng 80 cm

* Hướng dẫn giải

Ta có hình vẽ, chọn hệ quy chiếu như hình vẽ:

Đồ thị thế năng đàn hồi của hai con lắc: 

Từ đồ thị ta thấy đường màu đỏ cho biết thế năng đàn hồi của con lắc lò xo nằm ngang. Thế năng cực đại ứng với 4 đơn vị: ${\mathrm{W}}_1=\frac{1}{2}.k.A_1^2$

Đường màu xanh là thế năng đàn hồi của con lắc lò xo treo thẳng đứng. Vì tại vị trí cân bằng lò xo đã dãn một đoạn $∆l_0$ nên tại vị trí lò xo dãn nhiều nhất, thế năng đàn hồi cực đại lớn nhất ứng với 9 đơn vị:

${\mathrm{W}}_{2+}=\frac{1}{2}.k.{\left(A+\Delta l_0\right)}^2$

Tại vị trí biến trên (biên âm) thì thế năng đàn hồi ứng với 1 đơn vị:

${\mathrm{W}}_{2-}=\frac{1}{2}.k.{\left(A-\Delta l_0\right)}^2$

Ta có tỉ số:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\mathrm{W}}_{2+}}{{\mathrm{W}}_{2-}}=\frac{9}{1}=\frac{{\left(A_2+\Delta l_0\right)}^2}{{\left(A_2-\Delta l_0\right)}^2}\iff \frac{\left(A_2+\Delta l_0\right)}{\left(A_2-\Delta l_0\right)}=3\\ \Rightarrow A_2=2\Delta l_0\\ \frac{{\mathrm{W}}_{2+}}{{\mathrm{W}}_1}=\frac{9}{4}=\frac{{\left(A_2+\Delta l_0\right)}^2}{A_1^2}\iff \frac{A_2+\Delta l_0}{A_1}=\frac{3}{2}\\ \iff \frac{3\Delta l_0}{A_1}=\frac{3}{2}\Rightarrow A_1=2\Delta l_0=A_2.\end{array}\right.$

Tại thời điểm ban đầu t = 0, ta thấy cả hai vật đều đang ở biên cương. Thời điểm t là thời điểm vật của lò xo treo thẳng đứng đi qua vị trí lò xo không dãn.

Ta có VTLG

Thời gian từ t = 0 đến $t_1$ là

$t_1=\frac{T}{2\pi }\left(\frac{\pi }{2}+\arcsin \frac{\Delta l_0}{A_2}\right)=\frac{T}{3}$

Thời điểm $t_2$ là thời điểm vật của lò xo nằm ngang đi qua vị trí cân bằng lần thứ 2. Ta có VTLG:

Thời gian từ t = 0 đến $t_2$ là $t_2=\frac{3}{4}T$

Khoảng thời gian $t_2-t_1=\frac{\pi }{12}\Rightarrow \frac{3}{4}T-\frac{T}{3}=\frac{5}{12}T=\frac{\pi }{12}\Rightarrow T=\frac{\pi }{5}\left(s\right)$

Tần số góc của hai con lắc là như nhau vì chúng đều dao động tự do và có cùng độ cứng, vật nặng cùng khối lượng: $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{g}{\Delta l_0}}$

Vậy ta có: $\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{\frac{\pi }{5}}=10=\sqrt{\frac{g}{\Delta l_0}}\Rightarrow \Delta l_0=0,1m=10cm$

Sau thời gian $t=t=\frac{\pi }{10}s=\frac{T}{2}$ thì hai vật đều đang ở biên âm. 

Khoảng cách giữa hai vật lúc này là:

$$\begin{gathered} d=\sqrt{{\left(l-A_1\right)}^2+{\left(l+\Delta l_0-A_2\right)}^2} \\ =\sqrt{{\left(80-20\right)}^2+{\left(80+10-20\right)}^2}=92,2cm \end{gathered}$$

Chọn D.