Bài 2 trang 160 SGK Đại số 10

Đề bài

Cho phương trình: \(mx^2– 2x – 4m – 1 = 0\)

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị \(m≠0\) phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

b) Tìm giá trị của \(m\) để \(- 1\) là một nghiệm của phương trình. Sau đó tìm nghiệm còn lại.

Hướng dẫn giải

+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta ' > 0.\)

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết

\(mx^2– 2x – 4m – 1 = 0\)

\(\eqalign{& a) \, \Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}1 + m\left( {4m + 1} \right) \cr&= 4{m^2} + m + 1 \cr & = (2m + {1 \over 4}) + {{15} \over {16}} > 0,\forall m \cr} \)

Vậy với \(m ≠ 0\) phương trình là bậc hai có biệt thức chung nên có \(2\) nghiệm phân biệt.

\(\eqalign{ b) 
& f( - 1) = m + 2 - 4m - 1 \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,= - 3m + 1 = 0 \cr
& \Rightarrow m = {1 \over 3} \cr} \)

Với \(m = {1 \over 3}\) , phương trình có nghiệm \(x_1= -1\).

Gọi nghiệm kia là \(x_2\).

Theo định lí Vi-et: 

\({x_1} + {x_2} =  - 1 + {x_2} = {2 \over m} = {2 \over {{1 \over 3}}}\)\( \Rightarrow {x_2} = 7\)