b) Giả sử \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình đã cho, hãy tính tổng và tích của chúng. Tìm một hệ thức liên hệ giữa \(x_1\) và \(x_2\) không phụ thuộc vào \(m\).

c) Xác định \(m\) để hiệu các nghiệm của phương trình bằng \(4\).

Hướng dẫn giải

+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta ' > 0.\)

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết

a) Phương trình có nghiệm \(\Leftrightarrow Δ’ = 4m^2– 9(m-1) ^2\)\(= -5m^2+ 18m – 9 ≥ 0\)

\(\Leftrightarrow {3 \over 5} \le m \le 3\)

Phương trình có nghiệm nếu \(m \in \left[ {{3 \over 5}; \, 3} \right]\)

b) Với \(m \in \left[ {{3 \over 5},3} \right]\) phương trình có các nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn

\(x_1+x_2= 4m\) (1) và \(x_1.x_2= 9(m-1)^2\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\({x_1}.{x_2} = 9{({{{x_1} + {x_2}} \over 4} - 1)^2}\)

\(\Leftrightarrow 9{({x_1} + {x_2} - 4)^2} - 16{x_1}{x_2} = 0\)

Đó là hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình độc lập với tham số \(m.\)

c) Không mất tính tổng quát, ta giả sử phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: \(x_2 > x_1.\)

Khi đó ta có: \(x_2– x_1= 4;x_1+ x_2= 4m \)\(⇒ x_2= 2(m+1).\)

Thay biểu thức của \(x_2\) vào phương trình thì được:

\(4(m+1)^2 – 8m(m+1) + 9(m-1)^2\)\(= 0\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 5{m^2} - 18m + 13 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {m_{_1}} = 1;{m_2} = {{13} \over 5} \cr} \)

Kết luận: Nếu \(m = 1\) hoặc \(m = {{13} \over 5}\) thì hiệu của \(2\) nghiệm bằng \(4\).