Bài 12 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao

a) 

\(\left\{ \matrix{
{x^2} - 5xy + {y^2} = 7 \hfill \cr
2x + y = 1 \hfill \cr} \right.\)

b)

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} + x + y = 8 \hfill \cr
x + y + xy = 5 \hfill \cr} \right.\)

c)

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} - x + y = 2 \hfill \cr
xy + x - y = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Đáp án

a) Từ phương trình thứ hai của hệ, ta được \(y = 1- 2x\)

Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

\(\eqalign{
& {x^2} - 5x(1 - 2x) + {(1 - 2x)^2} = 7 \cr
& \Leftrightarrow 15{x^2} - 9x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = - {2 \over 5} \hfill \cr} \right. \cr} \)

+ Với \(x = 1\) thì \(y = 1 – 2.1 = -1\)

+ Với \(x =  - {2 \over 5} \Rightarrow y = 1 - 2.( - {2 \over 5}) = {9 \over 5}\)

Vậy hệ có hai nghiệm: \((-1, 1)\) và \(( - {2 \over 5};\,{9 \over 5})\)

b) Đặt \(S = x + y; P = xy\). Ta có:

 \(\left\{ \matrix{
{S^2} - 2P + S = 8 \hfill \cr 
S + P = 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = 5 - S \hfill \cr 
{S^2} + 3S - 18 = 0 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 3 \hfill \cr 
P = 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr 
\left\{ \matrix{
S = - 6 \hfill \cr 
P = 11 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)

+ Với S = 3, P = 2, hệ có nghiệm (2, 1) và (1, 2)

+ Với S = -6, P = 11 vô nghiệm do S² – 4P < 0

c) Đặt \(S = x - y; P = xy\). Ta có:

\(\left\{ \matrix{
{S^2} + 2P - S = 2 \hfill \cr
P + S = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = 1 - S \hfill \cr
{S^2} - 3S - 4 = 0 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = - 1 \hfill \cr
P = 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
S = 4 \hfill \cr
P = - 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)

+ Với \(S = -1, P = 0\) thì \(x, -y\) là nghiệm phương trình:

\({X^2} + X = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 0 \hfill \cr
X = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Ta có nghiệm (0, 1) và (-1, 0)

+ Với \(S = 4, P = -5: x; -y\) là nghiệm phương trình:

X² – 4X + 5 = 0 (vô nghiệm)