Bài 14 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) \(f(x) = x + {2 \over {x + 2}}\) trên khoảng \((-2; +∞)\)

b) \(g(x) = 3{x^2} + {1 \over x}\) trên khoảng \((0; +∞)\)

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng bất đẳg thức Cô-si, ta có:

\(f(x) = x + 2{2 \over {x + 2}} - 2 \ge 2\sqrt {(x + 2){2 \over {x + 2}}}  - 2 \)

                                                                     \(= 2\sqrt 2  - 2\) 

Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi:

\(x + 2 = {2 \over {x + 2}} \Leftrightarrow {(x + 2)^2} = 2 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \sqrt 2 - 2 \hfill \cr
x = - \sqrt 2 - 2 \hfill \cr} \right.\)

b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số, ta có:

\(g(x) = 3{x^2} + {1 \over {2x}} + {1 \over {2x}} \ge 3\root 3 \of {3{x^2}.{1 \over {2x}}.{1 \over {2x}}}  = 3\root 3 \of {{3 \over 4}} \)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 3{x^2} = {1 \over {2x}} \Leftrightarrow x = \root 3 \of {{1 \over 6}} \)

Vậy: \(\min \,g(x) = 3\root 3 \of {{3 \over 4}}  \Leftrightarrow x = \root 3 \of {{1 \over 6}} \)